Lineáris és absztrakt algebra

Ajánlott irodalom

A Freud-könyv ingyenesen és legálisan letölthető a megadott linkről. A Kiss-könyv is évekig elérhető volt ugyanitt; feladatainak megoldása valamint a sajtóhibák listája továbbra is ingyenesen letölthető.

Az előadások és gyakorlatok tartalma

Az előadások letölthetők vetíthető prezentációként, valamint nyomtatható formában. A gyakorlatok feladatsorai is nyomtathatók. Az első kilenc előadás, vagyis a lineáris algebra esetében a feladatsorok megoldásai is letölthetők. Ehhez az anyagrészhez a Freud-könyvben is sok gyakorló feladat szerepel, jórészt megoldással. Az absztrakt algebrai feladatok megoldásai a feladat kódszáma alapján a fenti linkről letölthető megoldás-fileban találhatók.

Az előadásokhoz és gyakorlatokhoz megnézhető és letölthető videók is tartoznak. A lineáris algebra részben ezek szorosabban (de nem teljesen) kapcsolódnak az egyes prezentációkhoz és feladatsorokhoz. Az absztrakt algebrai rész esetében a kapcsolat lazább, ezért az ehhez a részhez tartozó videók az oldal alján, külön találhatók. Az OpenBoard file-ok mindig az adott videóhoz tartoznak.

  1. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint lineáris kombinációk halmaza. Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
  2. Vektor koordinátái adott bázisban. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Valódi altér dimenziója. Vektorrendszer rangja, mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Alterek összege, ennek dimenziója. A skaláris szorzat fogalma Rn-ben, vektorok hossza. Ortonormált bázis. Vektor koordinátáinak felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével.
  3. Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak. Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, a megfeleltetés mátrix és leképezés között kölcsönösen egyértelmű és művelettartó. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója.
  4. A bázistranszformáció képlete. Hasonló mátrixok. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata. Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek.
  5. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható. Alkalmazás: véges Markov-folyamatok. Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek. Algebrai szám minimálpolinomja. A minimálpolinom irreducibilis; a minimálpolinom jellemzése.
  6. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik és minden gyöke egyszeres. Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban. A Jordan-normálalak létezése és egyértelműsége. A minimálpolinom leolvasása a Jordan-alakról. A Jordan-alak hatványozása. Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. Összeg és szorzat rangjának felső becslése. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.
  7. Skaláris szorzat valós fölötti vektortéren, euklideszi tér. Bázishoz tartozó skaláris szorzat. Hossz, távolság, szög, Cauchy-egyenlőtlenség, háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és ortonormált vektorrendszer, függetlenségük, vektor koordinátái ortonormált bázisban. Gram-Schmidt-eljárás, merőleges vetület. Euklideszi tér komplex fölött. Transzformáció és mátrix adjungáltja, jellemzés skaláris szorzattal. Normális transzformáció ortonormált bázisban diagonalizálható, a sajátalterek merőlegesek. Az unitér és ortogonális transzformációk jellemzései, sajátértékeik. Az ortogonális transzformációk szép valós mátrixa. Unitér mátrixszal minden mátrix felső háromszögmátrixszá transzformálható.
  8. Önadjungált és szimmetrikus transzformációk, főtengelytétel. Kvadratikus alak, bilineáris függvény*, kapcsolatuk, szimmetrikus bilineáris függvény*. Komplex és Hermite-féle bilineáris függvény*. Kvadratikus alak mátrixa, felírás mátrixszorzás és skaláris szorzat segítségével. Bilineáris függvényhez tartozó ortogonális bázis*. Kvadratikos alak ortogonalizálása ONB-ben sajátértékekkel. Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja. Sylvester tehetetlenségi tétele.* Kvadratikus karakter, leolvasása aldeterminánsokkal. Illusztráció másodfokú görbékkel: animáció.
  9. Alterek összegénél az elemek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg. Direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója. Ortogonális kiegészítő altér. Invariáns altér, blokkfelbontás, kapcsolat az adjungált és az ortogonális kiegészítő altér invarianciája között. Szingulárisérték-felbontási tétel. Néhány korábban elhangzott tétel bizonyítása (az euklideszi terek lineáris transzformációinak speciális alakja, tehetetlenségi tétel*).
  10. Mese a csoportelmélet alkalmazásairól (nem tananyag). Szimmetriák és kompozícióik. Csoport fogalma. Neutrális elem és inverz egyértelmű. Kommutatív csoport fogalma. Additív és multiplikatív írásmód és terminológia. Példák: vektortér additív csoportja, gyűrűk additív és multiplikatív csoportja, általános lineáris csoport, a sík egybevágóságai. Csoportok megadása művelettáblával (Cayley-táblázat). Klein-csoport. Diédercsoport, számolási szabályok. Kvaterniócsoport. Szimmetrikus csoport. Permutációk ciklusfölbontása. Geometriai transzformációk csoportjai. Izomorf csoportok. Csoportelem rendje, példák. Képlet hatvány rendjére. Permutáció rendjének leolvasása. Ciklikus csoportok, osztályozásuk.
  11. Részcsoport fogalma. Részcsoportok jellemzése műveletekre való zártsággal. Komplexusok, komplexusműveletek. Példák. Alternáló csoport, speciális lineáris csoport. Részcsoportok metszete részcsoport (uniójuk nem feltétlenül az). Ciklikus csoport részcsoportjai. Mellékosztályok. Partíciót alkotnak. A mellékosztályok jellemzései. A bal és a jobb oldali mellékosztályok száma ugyanaz. Részcsoport indexe. Lagrange-tétel: részcsoport, ill. elem rendje osztja a csoport rendjét (ha ez véges). Euler–Fermat-tétel. Prímrendű csoport ciklikus. Csoportnak pontosan akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Permutációcsoportok. Fixpont; stabilizátor, eszerinti mellékosztályok jellemzése. Pálya (orbit); ennek elemszáma a stabilizátor indexe, tranzitivitás. Ekvivalencia-reláció, a pályák partíciót alkotnak. Csoporthatás; Burnside-lemma: csoporthatás orbitjainak száma egyenlő a csoportelemek fixpontszámának átlagával. Alkalmazás leszámlálási feladatokra. Cayley tétele: minden csoport izomorf egy permutációcsoporttal.
  12. Részgyűrű. Csoport- és gyűrűhomomorfizmus, mag és kép. Ideál, bal- és jobbideál, generált főideál. Maradékosztály, faktorgyűrű, a műveletek jóldefiniáltsága. Természetes homomorfizmus, homomorfizmustétel. A komplex számtest mint faktorgyűrű. K[x]/(f) pontosan akkor test, ha f irreducibilis. Négy- és kilencelemű test. A kvaterniók ferdeteste, konjugált, norma.
  13. A konjugálás mint automorfizmus. Homomorfizmus magja zárt a külső elemmel való konjugálásra. Normális részcsoport (normálosztó) mint konjugálásra zárt részcsoport. A normálosztók jellemzései: a jobb és a bal oldali mellékosztályok megegyeznek, a részcsoport konjugáltosztályok uniója. Kettő indexű részcsoport mindig normálosztó. Példák. Faktorcsoport. Homomorfizmustétel. Elem rendje a faktorcsoportban. Konjugálás a szimmetrikus csoportban. Generált részcsoport mint a legszűkebb, az adott halmazt tartalmazó részcsoport, vagyis az adott halmazt tartalmazó részcsoportok metszete. Generált részcsoport elemeinek fölírása általános és kommutatív esetben. Véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható. Generált részgyűrű. Generált balideál elemeinek felírása egységelemes gyűrűben.

Az alábbi előadások kitekintő jellegűek, fakultatívak

  1. A testbővítés fogalma. Közbülső test, adott elemek által generált közbülső test. Algebrai elemmel való egyszerű bővítés elemeinek egyértelmű fölírása a generátorelem alacsony fokú polinomjaként, műveletek az így felírt elemekkel. Algebrai elem foka, a testbővítés foka. Testbővítések fokának szorzástétele. Véges bővítés algebrai, elem foka osztja a bővítés fokát. Bővítés algebrai elemei közbülső testet alkotnak. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai számok teste algebrailag zárt.
  2. A geometriai szerkeszthetőség alapjai. Szerkeszthető számok, a szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele (NB). Nevezetes szerkeszthetőségi problémák. Véges test elemszáma prímhatvány; az additív és a multiplikatív csoport leírása. Minden prímhatványra egyértelműen létezik ilyen elemszámú test. xq-x fölbontása. A közbülső testek száma és foka. Véges test fölött létezik tetszőleges fokú irreducibilis polinom. Primitív polinom. Hibajavító kódok. Hibajelzés és javítás, Hamming-távolság. Hamming-korlát, Singleton-korlát. Perfekt kódok. Lineáris kódok, Hamming-kód és dekódolása, polinomkódok, elégséges feltétel a t-hibajavításra, Reed-Solomon-kód, BCH-kód, ciklikus kód.
  3. Direkt szorzat. Elemrend a direkt szorzatban; ciklikusok direkt szorzata mikor ciklikus. Alkalmazás: szükséges feltétel primitív gyök létezésére modulo m. A direkt szorzat belső jellemzése; példák. A véges Abel-csoportok alaptétele; adott elemszámúak osztályozása. Kis elemszámú csoportok. Módszerek csoportok izomorfiájának vizsgálatára; pl. az elemrendek összehasonlításával. Példa olyan nem izomorf 27 elemű csoportokra, amelyekben minden elem köbe 1. Egyszerű csoportok. Klasszifikációs tétel és Feit–Thompson-tétel (bizonyítás nélkül).
  4. Főideálgyűrű, euklideszi gyűrű. Minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű. Z, K[x] euklideszi (K test). Z[x] nem főideálgyűrű (de alaptételes). Kitüntetett közös osztó mint az elemek által generált ideál generátoreleme. Minden főideálgyűrű alaptételes. Példa nem alaptételes szokásos gyűrűre. Gyűrűk direkt szorzata, belső jellemzés ideálokkal. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Wedderburn tétele (minden véges ferdetest kommutatív, bizonyítás nélkül). Ferdetest balideáljai triviálisak. Egyszerű gyűrű, példák. Kommutatív, egységelemes egyszerű gyűrű test. Minden balideálmentes gyűrű test (bizonyítás nélkül). K[x]/(f)-ben f-nek van gyöke. Nullosztómentes gyűrűben a nem nulla elemek additív rendje vagy végtelen, vagy mindegyiké ugyanaz a prímszám. Karakterisztika, prímtest. Algebra fogalma. Frobenius tétele (bizonyítás nélkül); a feltételek egyike sem hagyható el. Algebra elemének minimálpolinomja, az irreducibilitás és a nullosztómentesség kapcsolata. Az x2+1 gyökei a kvaterniók között. A kvaterniók kapcsolata a skaláris és vektoriális szorzással. Térbeli forgatások leírása kvaterniókonjugálással, Euler-mátrix. Az egységkvaterniók csoportja izomorf  az SU(2) speciális unitér csoporttal. Kapcsolat a fizikával.
  5. Csoportalgebra, csoportreprezentációk. Véges Abel-csoport karakterei és duálisa. A csoportalgebra direkt felbontása, új bázis. Diszkrét Fourier-transzformáció és inverze, tulajdonságai. Hangminta transzformáltja, frekvenciatartomány, aliasing. 2D diszkrét Fourier-transzformáció. Zajcsökkentés a képfeldolgozásban. Diszkrét koszinusz-transzformáció, JPEG tömörítés. Keretek és csoportok.

Az absztrakt algebrai előadásokhoz tartozó videók

1. videó.
2. videó.
3. videó.
4. videó.
5. videó.
6. videó.
7. videó.
8. videó.
9. videó.
10. videó.
11. videó.

Az absztrakt algebrai gyakorlatokhoz tartozó videók

1. OpenBoard, videó.
2. OpenBoard, videó.
3. OpenBoard, videó.
4. OpenBoard, videó.
5. OpenBoard, videó.
6. OpenBoard, videó.
7. OpenBoard, videó.
8. OpenBoard, videó.
9. OpenBoard, videó.
10. OpenBoard, videó.
11. OpenBoard, videó.
12. OpenBoard, videó.