Bsc Algebra és Számelmélet

Ajánlott irodalom

A Freud-könyv, illetve a Freud-Gyarmati-könyv ingyenesen és legálisan letölthető a megadott linkről. A Kiss-könyv is évekig elérhető volt online, és a feladatok megoldásai valamint a sajtóhibák listája továbbra is ingyenesen letölthető.

Mintazárthelyik

A tantárgy hivatalos tematikája

Zárójelben a diák, amelyeken a megfelelő anyagrész szerepel.

Lineáris algebra:

  • Lineáris egyenletrendszerek, a Gauss-elimináció alkalmazásai (1).
  • Vektorok, mátrixok, mátrixműveletek (2).
  • Permutációk, előjel, ciklusfelbontás (15).
  • Determináns, előjeles térfogat (14, 16).
  • Kifejtési tétel, inverz mátrix, Cramer szabály (17).
  • Sorrang, oszloprang, determinánsrang (18).

Klasszikus és absztrakt algebra:

  • Komplex számok, geometriai alkalmazások, egységgyökök (5, 6, 7).
  • Polinomok, behelyettesítés, gyökök, derivált (3, 4, 20, 21).
  • Polinomok számelmélete, racionális gyökteszt, irreducibilitási kritériumok (9, 22, 23, 24).
  • Körosztási polinom, alkalmazások (26, 27).
  • Interpoláció (22).
  • Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, szimmetrikus polinomok (21).
  • Absztrakt algebrai alapfogalmak: csoport, gyűrű, nullosztómentesség (19, 20).

Számelmélet:

  • Oszthatóság, prímszámok, a számelmélet alaptétele (8, 9, 10).
  • Számelméleti függvények (13, 29).
  • Kongruenciák, Euler-Fermat-tétel, Wilson-tétel (11, 12).
  • Kongruenciák visszavezetése prímhatvány- és prímalapra (27).
  • Nevezetes elemi diofantikus egyenletek (12, 31).
  • Primitív gyök, index, binom kongruenciák (28).
  • Kvadratikus maradékok, Legendre-szimbólum (28).

Az előadások és gyakorlatok tartalma

Az alábbi tematikában a fenti könyvek megfelelő szakaszaira F, K, illetve FGy betű hivatkozik. A diák tartalma sokszor vázlatos, de minden esetben szerepel rajtuk a megfelelő tankönyv megfelelő állítására való hivatkozás, ahol a részletek megtekinthetők.

Az alábbi az anyag egy lehetséges sorrendje, felépítése, a diák ebben a sorrendben épülnek egymásra. A normál vizsga algebra részének anyagát ezek a diák definiálják, a megcsillagozottakat leszámítva. A számelmélet anyag szűkebb, mint ami a diákon megjelenik, az előadó döntése, hogy mely bizonyításokat részletezi. Az előadó az alábbi sorrendtől is eltérhet. Az NB jelentése: a bizonyítás vázlatosan sem szerepel a diákon.

Az előadások prezentációi és ezek nyomtatható változata mellett letölthetők a sztenderd, normál szintű feladatsorok is, sok esetben több előadáshoz egybevonva. A számelmélet feladatsorok megoldásai is letölthetők. Mindkét Freud-könyvben sok gyakorló feladat szerepel, jórészt megoldással. Az algebrai feladatok megoldásai a feladat kódszáma alapján Kiss-könyv megoldás-filejában találhatók, amely a fenti linkről letölthető.

  1. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.
  2. Vektorösszeadás a síkon, helyvektor. Vektor- és mátrixműveletek: összeg, skalárszoros, nulla, ellentett. Szorzat, egységmátrix, inverz, transzponált. A mátrixok és vektorok műveleti tulajdonságai. A nullosztómentesség és a kommutativitás nem teljesül általában. Az inverz kiszámítása Gauss-eliminációval.
  3. A valós együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. A szumma és produktum jelölés. Behelyettesítés polinomba, polinomfüggvény. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége.
  4. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél, iterált Horner. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. Polinom és polinomfüggvény kapcsolata. A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. A k-szoros gyök fogalma. A binomiális tétel.
  5. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség.
  6. A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. Szorzás és forgatva nyújtás. Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése.
  7. A komplex egységgyökök fogalma, száma, képlete. Gyökvonás egységgyökök segítségével. A háromszög-egyenlőtlenség. Két pont távolsága. Az eltolás és a forgatva nyújtás kifejezése komplex számok segítségével, geometriai alkalmazások.
  8. Oszthatóság számokra és polinomokra. Asszociált, egység. Triviális felbontás, felbonthatatlan szám, prímtulajdonság. Minden felbonthatatlan egész prím. Maradékos osztás az egész számok között.
  9. Legnagyobb és kitüntetett közös osztó. (Páronként) relatív prím számok. Euklideszi algoritmus. A KKO egyértelműsége, kiemelési tulajdonsága. Ha c | ab, és (c, a) = 1, akkor c | b. Lineáris diofantikus egyenlet, képlet az általános megoldásra. A számelmélet alaptétele. Alkalmazás: a racionális gyökteszt polinomokra.
  10. Kanonikus alak. Az osztók kanonikus alakja és száma. A kitüntetett közös osztó és többszörös képlete. A relatív prímség elemi tulajdonságai. Az n! kanonikus alakja. Végtelen sok prímszám van. Eratoszteneszi szita. Műveletek mod n, a mod n maradékképzés művelettartó.
  11. Kongruenciák alaptulajdonságaik, egyszerűsítésük. Maradékosztály. A lineáris kongruencia megoldásai, eljárás. Szimultán kongruenciarendszer. A kínai maradéktétel.
  12. Teljes és redukált maradékrendszer jellemzése, szorzása a modulushoz relatív prímmel. Redukált maradékosztály. Az Euler-függvény multiplikatív, képlete. Euler–Fermat-tétel, kis Fermat-tétel. Wilson tétele. Teljes hatványok. Relatív prímek szorzata mikor teljes hatvány. Képlet a pitagoraszi számhármasokra. A Fermat-sejtés (Wiles tétele).
  13. Számelméleti függvény, multiplikativitás. Képlet az osztók összegére. Tökéletes szám, a páros tökéletes számok jellemzése. Mersenne-és Fermat-prímek, létezésük, kapcsolat sokszögek szerkeszthetőségével. Gyors hatványozás mod m. Álprímek, a Miller-Lenstra-Rabin prímteszt (NB). Nyilvános jelkulcsú titkosírás, RSA-módszer.
  14.  A 2×2-es és 3×3-as determináns definíciója. Tulajdonságaik (minden oszlopban lineáris, és ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval.
  15. Permutáció, transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata. Inverziók, permutáció előjele. Kompozíció, inverz, a permutációk szorzástétele. Csere előjele, a páros permutációk száma. Diszjunkt ciklusokra bontás, az előjel leolvasása.
  16. A determináns definíciója. A determináns alaptulajdonságainak bizonyítása: linearitás, ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla, felső háromszögmátrix és transzponált determinánsa. A transzponált determináns definíciójában szereplő tagok az inverz permutációhoz tartoznak.
  17. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete, az invertálhatóság jellemzése determinánsokkal. Minden egyoldali inverz kétoldali. A Cramer-szabály. Vandermonde-determináns. A determináns, mint mérték, kapcsolat a geometriával. A determinánst definiáló képlet levezetése a megkívánt tulajdonságokból. A determinánsok szorzástételének bizonyítása. A kifejtési tétel bizonyítása.
  18. Lineáris kombináció, oszlopvektorok függetlensége, jellemzése lineáris egyenletrendszer megoldhatóságával. A függetlenség és a függés kapcsolata. Vektorrendszer és mátrix rangja, a sorrang és az oszloprang egyenlő, determinánsrang. A rang meghatározása Gauss-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának, és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével. A determináns eltűnésének jellemzése.
  19. Művelet, asszociativitás, kommutativitás. Nullelem, egységelem, ellentett, inverz. Csoport, gyűrű, nullosztómentesség. Additív és multiplikatív csoport. Egységelemes, kommutatív, szokásos gyűrű, test. Az egyszerűsítési szabály, szorzat inverze. Minden test nullosztómentes. A Zm gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám.A Zmx csoport elemszáma.
  20. Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Zp[x]-ben tagonként lehet p-edik hatványra emelni, ha p prím. Következmény: a kis Fermat-tétel. Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A polinomgyűrű egységei. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem. Az f polinom formális deriváltja, f'(x) az f(x+y)-ban az y együtthatója. Többszörös gyökök vizsgálata a deriválás segítségével.
  21.  A gyökök és együtthatók közötti összefüggések. A négyzetösszeg kifejezése. Az n-edik egységgyökök összege. A többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Nullosztómentesség, fok, homogén polinomok. Az elemi szimmetrikus polinomok. A szimmetrikus polinomok alaptétele (NB).
  22. Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, amelynek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Az euklideszi gyűrű fogalma. A számelmélet alapjai általános gyűrűben, egység, irreducibilitás kanonikus alak. Kitüntetett közös osztó. Euklideszi algoritmus, minden euklideszi gyűrű alaptételes. Interpoláció és a kínai maradéktétel. Lagrange- és Newton-interpoláció.
  23. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f | g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetén. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke.
  24. Irreducibilitás Q[x]-ben. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Primitív polinom, első és második Gauss-lemma, következmények. A Z[x] irreducibiliseinek leírása. Az alaptétel bizonyítása. Alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is az. Következmény: Z[x1,…,xn] és T[x1,…,xn] alaptételes, ahol T test.
  25. Elemrend komplex számokra, mod m, illetve csoportban. A hatványok periodikusan ismétlődnek Jó kitevő, ezek a rend többszörösei. A hatvány rendjének képlete. Komplex szám rendjének meghatározása.
  26. Primitív komplex n-edik egységgyökök, jellemzésük, számuk. A körosztási polinom, kiszámítása rekurzióval. A Cardano-képlet (a képletet a vizsgára nem kell megtanulni), használata, többszörös gyökök létezése. Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis. A negyedfokú egyenletre van, a legalább ötödfokúra nincs gyökképlet.
  27. Magasabb fokú kongruenciák visszavezetése prím modulusra: a Hensel-lemma. Prímmodulusú kongruenciák megoldásszáma, a Kőnig-Rados-tétel (NB). Primitív gyök mod m, létezésének szükséges és elégséges feltétele. Prím modulusra van primitív gyök, kapcsolat a körosztási polinom értékeinek prímosztóival. Primitív gyök konstrukciója mod pk (NB).  Dirichlet tétele (NB), az nk+1 eset bizonyítása.
  28. Diszkrét logaritmus, binom kongruenciák, hatványmaradékok. Kvadratikus maradék, Euler-lemma, Legendre-szimbólum. A kvadratikus reciprocitási tétel (NB). Jacobi-szimbólum és alkalmazása. A Fermat-prímekre a 3 kvadratikus maradék, a Pepin-teszt bizonyítása.
  29. Nevezetes multiplikatív és additív számelméleti függvények. Számelméleti függvények összegezési függvénye és konvolúciója, a Möbius-megfordítási formula. Alkalmazás a körosztási polinom kiszámítására. Dirichlet-sorok, annak valószínűsége, hogy két pozitív egész relatív prím. A Riemann-féle zetafüggvény.
  30. Klasszikus megoldatlan problémák a prímszámokkal kapcsolatban, ikerprímek, Goldbach-sejtés. Hézagtétel, izolált prímek. Becslések a prímek nagyságrendjére: számuk (prímszámtétel, NB), aszimptotikus nagyságuk, reciprokösszegük, szorzatuk. Csebisev tétele. Dirichlet tételének kvantitatív változata (NB).
  31. Algebrai és transzcendens számok, példák nevezetes transzcendens számokra. Az e és pi irracionális, a Liouville-szám transzcendens. A négy- és három-négyzetszám tétel (NB), Gauss-egészek, a két négyzetszám összegére való felbontások száma. A Waring-problémakör. Az Euler-egészek számelmélete, a Fermat-sejtés n=3 esete.